MATEMATICA - MODULO 2 (APPLICATA) / MATHEMATICS - MODULE 2 (APPLIED)

Description

In continuità con il modulo 1, il corso si propone di fornire agli studenti le conoscenze e gli strumenti matematici necessari per affrontare in modo corretto lo studio quantitativo di problemi economici, finanziari e aziendali. Per raggiungere questo scopo è necessario che gli studenti comprendano le strutture interne e i procedimenti essenziali delle discipline matematiche, e che riescano a cogliere la natura della matematica come sistema assiomatico-deduttivo. A completamento del corso, vengono fornite alcune conoscenze di base di calcolo delle probabilità e finanza matematica. Algebra lineare. Autovalori e autovettori di una matrice simmetrica, teorema spettrale. Forme quadratiche e loro classificazione rispetto al segno, teorema di Sylvester-Jacobi. Calcolo differenziale con n variabili. Matrice Hessiana, condizioni del second'ordine per i punti di massimo / minimo locale libero, caso delle funzioni concave / convesse differenziabili, problemi di ottimizzazione libera. Funzioni reali di una variabile reale definite implicitamente, teorema di Dini. Problemi di ottimizzazione vincolata, funzione Lagrangiana, teorema di Lagrange. Calcolo integrale. Integrale di Riemann per una funzione limitata, condizioni di integrabilità, classi di funzioni integrabili, proprietà dell'integrale di Riemann, valor medio integrale. Integrale indefinito, primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzione integrale, secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Proprietà dell'integrale indefinito, integrazione per parti, integrazione per sostituzione. Integrale improprio, criteri di integrabilità. Integrale di Stieltjes per una funzione limitata f rispetto a una funzione crescente g. Calcolo delle probabilità. Approccio assiomatico, misure di probabilità. Variabili aleatorie: funzione di ripartizione, funzione di probabilità, funzione densità di probabilità, esempi notevoli. Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria, momenti di una variabile aleatoria. Finanza matematica. Capitalizzazione, attualizzazione. Capitalizzazione composta. Operazioni finanziarie. Mercati finanziari. Portafogli, payoff, contingent claims. Legge del prezzo unico. Arbitraggi, condizioni di assenza di arbitraggi. Teorema fondamentale della finanza. Following the ideas of module 1, the aim of this course is to give students the basic mathematical knowledge and instruments that are necessary to cope with the quantitative study of problems in Economics, Finance and Management. In order to reach this goal, it is necessary that students understand the internal structures and the essential procedures of Mathematics, and that they get to comprehend the nature of Mathematics as an axiomatic-deductive system. To complete the course, some basic knowledge in probability calculus and mathematical finance is given. Linear algebra. Eigenvalues and eigenvectors of a symmetric matrix, spectral theorem. Quadratic forms and their classification with respect to their sign, Sylvester-Jacobi's theorem. N-variable differential calculus. Hessian matrix, second-order conditions for unconstrained local maximizers /minimizers, case of the concave / convex differentiable functions, unconstrained optimization problems. Implicitly defined real functions of one real variable, Dini's theorem. Constrained optimization problems, Lagrangean function, Lagrange's theorem. Integral calculus. Riemann integral for a bounded function, integrability conditions, classes of integrable functions, properties of the Riemann integral, integral mean value. Indefinite integral, first fundamental theorem of calculus. Integral function, second fundamental theorem of calculus. Properties of the indefinite integral, integration by parts, integration by substitution. Improper integral, integrability criteria. Stieltjes integral for a bounded function f with respect to an increasing function g. Probability calculus. Axiomatic approach, probability measures. Random variables: distribution function, probability function, probability density function, notable examples. Expected value and variance of a random variable, moments of a random variable. Mathematical finance. Accumulation, discount. Compound accumulation. Financial operations. Financial markets. Portfolios, payoffs, contingent claims. Law of one price. Arbitrages, no arbitrage conditions. Fundamental theorem of finance. Exchange/course-load context: The official incoming exchange catalogue states that 30xxx codes refer to undergraduate courses, 20xxx and 21xxx codes refer to graduate courses, and 50xxx codes refer to the Integrated Master of Arts in Law. Undergraduate exchange students are allowed to select undergraduate-level courses only; graduate students can choose both undergraduate and graduate level courses. Bocconi credits are ECTS-equivalent. Each Bocconi credit corresponds to 25 hours of workload, including 8 lecture hours.